决策树之 GBDT 算法 - 回归部分

GBDT(Gradient Boosting Decision Tree)是被工业界广泛使用的机器学习算法之一,它既可以解决回归问题,又可以应用在分类场景中,该算法由斯坦福统计学教授 Jerome H. Friedman 在 1999 年发表。本文中,我们主要学习 GBDT 的回归部分。

在学习 GBDT 之前,你需要对 CARTAdaBoost 决策树有所了解,和 AdaBoost 类似,GBDT 也是一种 Boosting 类型的决策树,即在算法产生的众多树中,前一棵树的错误决定了后一棵树的生成。

我们先从最为简单的例子开始,一起来学习 GBDT 是如何构造的,然后结合理论知识,对算法的每个细节进行剖析,力求由浅入深的掌握该算法。

我们的极简数据集由以下 3 条数据构成,使用它们来介绍 GBDT 的原理是再好不过了,假设我们用这些数据来构造一个 GBDT 模型,该模型的功能是:通过身高、颜色喜好、性别这 3 个特征来预测体重,很明显这是一个回归问题。

身高(米) 颜色喜好 性别 体重(kg)
1.6 Blue Male 88
1.6 Green Female 76
1.5 Blue Female 56

构造 GBDT 决策树

GBDT 的第一棵树只有 1 个叶子节点,该节点为所有样本的初始预测值,且该值到所有样本间的 MSE(Mean Squared Error)是最小的。实际上,初始值就是所有样本的平均值,即 (88+76+56)/3 = 73.3,原因我们在下文会详细介绍。

接下来,根据预测值,我们算出每个样本的残差(Residual),如第一个样本的残差为:88 - 73.3 = 14.7,所有样本的残差如下:

身高(米) 颜色喜好 性别 体重(kg) 残差
1.6 Blue Male 88 14.7
1.6 Green Female 76 2.7
1.5 Blue Female 56 -17.3

接着,我们以残差为目标值来构建一棵决策树,构造方式同 CART 决策树,这里你可能会问到为什么要预测残差?原因我们马上就会知道,产生的树如下:

gbdt1

因为我们只有 3 个样本,且为了保留算法的细节,这里只用了 2 个叶子节点,但实际工作中,GBDT 的叶子节点通常在 8-32 个之间。

然后我们要处理有多个预测值的叶子节点,取它们的平均值作为该节点的输出,如下:

GBDT2

上面这棵树便是第 2 棵树,聪明的你一定发现了,第 2 棵树实际上是第 1 棵树和样本之间的误差,我们拿第 3 个样本作为例子,第一棵树对该样本的预测值为 73.3,此时它和目标值 56 之间的误差为 -17.3,把该样本输入到第 2 棵树,由于她的身高值为 1.5,小于 1.55,她将被预测为 -17.3。

既然后一棵树的输出是前一棵树的误差,那只要把所有的树都加起来,是不是就可以对前面树的错误做出补偿,从而达到逼近真实值的目的呢。这就是我们为什么以残差建树的原因。

当然树之间不会直接相加,而是在求和之前,乘上一个学习率,如 0.1,这样我们每次都可以在正确的方向上,把误差缩小一点点。Jerome Friedman 也说过这么做有助于提升模型的泛化能力(low variance)。

整个过程有点像梯度下降,这应该也是 GBDT 中 Gradient 的来历。GBDT 的预测过程如下图所示:

gbdt3

按此方法更新上述 3 个样本的预测值和残差,如下:

样本 目标值 预测值 残差
1 88 73.3 + 0.1 × 8.7 = 74.17 13.83
2 76 73.3 + 0.1 × 8.7 = 74.17 1.83
3 56 73.3 + 0.1 × (-17.3) = 71.57 -15.57

比较这两棵树的残差:

样本 树1的残差 树2的残差
1 14.7 13.83
2 2.7 1.83
3 -17.3 -15.57

可见,通过 2 棵树预测的样本比只用 1 棵树更接近目标值。接下来,我们再使用第 2 棵树的残差来构建第 3 棵树,用第 3 棵树的残差来构建第 4 棵树,如此循环下去,直到树的棵数满足预设条件,或总残差小于一定阈值为止。以上,就是 GBDT 回归树的原理。

深入 GBDT 算法细节

GBDT 从名字上给人一种不明觉厉的印象,但从上文可以看出,它的思想还是非常直观的。对于只想了解其原理的同学,至此已经足够了,想学习更多细节的同学,可以继续往下阅读。

初始化模型

该算法主要分为两个步骤,第一步为初始化模型:

F0(x)=argminγi=1nL(yi,γ)F_0(x) = \arg\min_{\gamma} \sum_{i=1}^n L(y_i, \gamma)

上式中,FF 表示模型,F0F_0 即模型初始状态;L 为 Loss Function,n 为训练样本的个数,yiy_i 为样本 i 的目标值,gamma 为初始化的预测值,意为找一个 gamma,能使所有样本的 Loss 最小。

前文提过,GBDT 回归算法使用 MSE 作为其 Loss,即:

L(yi,yi^)=12(yiyi^)2L(y_i,\hat{y_i}) = \frac{1}{2}(y_i-\hat{y_i})^2

公式中 yi^\hat{y_i} 表示第 i 个样本的预测值,我们把例子中的 3 个样本带入 F0F_0 中,得:

F0(x)=12(88γ)2+12(76γ)2+12(56γ)2F_0(x) = \frac{1}{2}(88-\gamma)^2 + \frac{1}{2}(76-\gamma)^2+\frac{1}{2}(56-\gamma)^2

要找到一个 gamma,使上式最小,因为上式是一个抛物线,那么 d(F0)/dγ=0d(F_0)/d\gamma=0 时,上式有最小值,于是:

d(F0)dγ=(γ88)+(γ76)+(γ56)=0\frac{d(F_0)}{d\gamma}=(\gamma-88)+(\gamma-76)+(\gamma-56)=0

上式化简后,你一眼就可以看出 gamma = (88+76+56)/3 = 73.3,即初始值就是所有样本的平均值

模型迭代

算法的第二个步骤是一个循环,伪代码如下:

for m = 1 to M:
	(A)
	(B)
	(C)
	(D)

其中,m 表示树的序号,M 为树的总个数(通常该值设为 100 或更多),(A) (B) (C) (D) 代表每次循环中的 4 个子步骤,我们先来看 (A)

(A) 计算

rim=[L(yi,F(xi))F(xi)]F(x)=Fm1(x)r_{im} = -\left[ \frac{\partial L(y_i,F(x_i))}{\partial F(x_i)} \right]_{F(x)=F_{m-1}(x)}

我们把 F(xi)F(x_i) 换成 yi^\hat{y_i},该式子其实是对 Loss 求 yi^\hat{y_i} 的偏微分,该偏微分为:

L(yi,yi^)yi^=12(yiyi^)2yi^=(yiyi^)\frac{\partial{L(y_i, \hat{y_i})}}{\partial \hat{y_i}} = \frac{\partial \frac{1}{2}(y_i-\hat{y_i})^2}{\partial \hat{y_i}} = -(y_i-\hat{y_i})

F(x)=Fm1(x)F(x)=F_{m-1}(x) 意为使用上一个模型来计算 yi^\hat{y_i},即用 m-1 棵已生成的树来预测每一个样本,那么 rim=yiyi^r_{im} = y_i-\hat{y_i} 就是上面说的计算残差这一步。

(B) 使用回归决策树来拟合残差 rimr_{im},树的叶子节点标记为 RjmR_{jm},其中 j 表示第 j 个叶子节点,m 表示第 m 棵树。该步骤的细节如果不清楚可以查看 CART 回归树一文

(C) 对每个叶子节点,计算

γjm=argminγxiRijL(yi,Fm1(xi)+γ)\gamma_{jm} = \arg\min_{\gamma} \sum_{x_i \in R_{ij}} L(y_i,F_{m-1}(x_i)+\gamma)

上面式子虽然较为复杂,但它和初始化步骤中的式子的目的是一样的,即在每个叶子节点中,找到一个输出值 gamma,使得整个叶子节点的 Loss 最小。

γjm\gamma_{jm} 为第 m 棵树中,第 j 个叶子节点的输出,xiRijL\sum_{x_i \in R_{ij}}L 表示在第 j 个叶子节点中所有样本的 Loss,如下面的树中,左边叶子节点上有 1 个样本,而右边叶子节点内有 2 个样本,我们希望根据这些样本来求得对应叶子的唯一输出,而 Loss 最小化就是解决之道。

gbdt1

在 Loss 函数中,第 2 个参数 Fm1(xi)+γF_{m-1}(x_i) + \gamma 是模型对样本 i 的预测,再加上 γ\gamma,对于只有 1 个样本的叶子节点来说,γ\gamma 就是该样本残差,而对于有多个样本的节点来说,γ\gamma 为能使 Loss 最小的那个值,下面就这两种情况分别说明:

以上面这棵树为例,左边叶子节点只有 1 个样本,即样本 3,将它带入到公式中:

γ11=argminγL(y3,F0(x3)+γ)=argminγ(12(56(73.3+γ))2)=argminγ(12(17.3γ)2)\begin{aligned} \gamma_{11} &= \arg\min_{\gamma}L(y_3, F_0(x_3)+\gamma)\\ &=\arg\min_{\gamma}(\frac{1}{2}(56-(73.3+\gamma))^2)\\ &=\arg\min_{\gamma}(\frac{1}{2}(-17.3-\gamma)^2) \end{aligned}

要求右边的式子最小,和上面一样,我们令其导数为 0:

ddγ[12(17.3γ)2]=17.3+γ=0\frac{d}{d\gamma}\left[\frac{1}{2}(-17.3-\gamma)^2\right] = 17.3+\gamma = 0

算得 γ11=17.3\gamma_{11} = -17.3,所以当叶子中只有 1 个样本时,该叶子的输出就是其残差。

再来看下右边这个节点,其中包含 2 个样本,同样把样本 1 和样本 2 带入到公式中,得:

γ21=argminγ(L(y1,F0(x1)+γ)+L(y2,F0(x2)+γ))=argminγ(12(88(73.3+γ))2+12(76(73.3+γ))2)=argminγ(12(14.7γ)2+12(2.7γ)2)\begin{aligned} \gamma_{21} &=\arg\min_{\gamma}(L(y_1, F_0(x_1)+\gamma)+L(y_2, F_0(x_2)+\gamma))\\ &=\arg\min_{\gamma}(\frac{1}{2}(88-(73.3+\gamma))^2+\frac{1}{2}(76-(73.3+\gamma))^2)\\ &=\arg\min_{\gamma}(\frac{1}{2}(14.7-\gamma)^2+\frac{1}{2}(2.7-\gamma)^2) \end{aligned}

对右边求导:

ddγ[12(14.7γ)2+12(2.7γ)2)]=γ14.7+γ2.7\frac{d}{d\gamma}\left[ \frac{1}{2}(14.7-\gamma)^2+\frac{1}{2}(2.7-\gamma)^2) \right] = \gamma-14.7+\gamma-2.7

上式为 0 时,Loss 最小,即

γ14.7+γ2.7=0\gamma-14.7+\gamma-2.7 = 0

于是

γ=14.7+2.72=8.7\gamma = \frac{14.7+2.7}{2} = 8.7

可见,当叶子中有多个样本时,该叶子的输出值就是所有样本残差的平均值。

(D) 更新模型,下次迭代中使用 m 棵树来做预测:

Fm(x)=Fm1(x)+νj=1JmγjmF_m(x) = F_{m-1}(x) + \nu \sum_{j=1}^{J_m}\gamma_{jm}

上式中,ν\nu 表示学习率。之后,训练将重新来到 (A) 步骤,进入下一棵树构建的循环中。

总结

本文我们一起学习了 GBDT 的回归算法,一开始,通过一个简单的例子描述了 GBDT 的原理,之后,我们对 GBDT 的每个步骤进行了逐一剖析,希望本文能给你带来收获。

参考: